☝ Les restes possibles dans une division euclidienne - Remarque

Soit \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) .

On note \(a=bq+r\) , avec \(0 \leqslant r < b\) , la division euclidienne de  \(a\) par \(b\) .

• Dans la division euclidienne de  \(a\) par \(b\) , il y a  \(b\) restes possibles : \(0 \ ; 1 \ ; 2 \ ; ... \ ; b-1\) .
  
• L'égalité \(a=bq+r\) n'est en soi pas unique : plusieurs couples d'entiers relatifs  \((q;r)\) peuvent fonctionner. Cependant, un seul de ces couples vérifie la condition \(0 \leqslant r < b\) . C'est seulement pour ce couple particulier que l'égalité \(a=bq+r\) est une division euclidienne.

Exemple

On peut écrire : \(39=4 \times 10-1\) ; \(39=4 \times 9+3\) ; \(39=4 \times 8+7\) ; \(39=4 \times 7+11\) ; etc.
La division euclidienne de  \(39\) par  \(4\)  correspond à l'égalité \(39=4 \times 9+3\) , car \(0 \leqslant 3<4\) .